七年級數學（下）重要知識點總結

第一章：整式的運算
一、概念
1、代數式：
2、單項式:由數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。單項式不含加減運算，分母中不含字母。
3、多項式:幾個單項式的和叫做多項式。多項式含加減運算。
4、整式:單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。
二、公式、法則：
（1）同底數冪的乘法：a^m﹒aⁿ=a^m+n（同底，冪乘，指加）
逆用： a^m+n =a^m﹒aⁿ（指加，冪乘，同底）
（2）同底數冪的除法：a^m÷aⁿ=a^m-n（a≠0）。（同底，冪除，指減）
逆用：a^m-n = a^m÷aⁿ（a≠0）（指減，冪除，同底）
（3）冪的乘方：（a^m）ⁿ =a^mn（底數不變，指數相乘）
逆用：a^mn =（a^m）ⁿ
（4）積的乘方：（ab）ⁿ=aⁿbⁿ   推廣：
逆用， aⁿbⁿ =（ab）ⁿ（當ab=1或-1時常逆用）
（5）零指數冪：a⁰=1（注意考底數范圍a≠0）。
（6）負指數冪： (底倒，指反)
（7）單項式與多項式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
（8）多項式與多項式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
（9）平方差公式：（a+b）(a-b)=a²-b²   公式特點：（有一項完全相同，另一項只有符號不同，結果=
     推廣（項數變化）：
連用變化：
（10）完全平方公式：
逆用：
完全平方公式變形（知二求一）：
完全平方和公式中間項=
完全平方差公式中間項=
完全平方公式中間項=
例如： 是一個完全平方和公式，則 =       ；是一個完全平方差公式，則 =       ；是一個完全平方公式，則 =       ；
（11）多項式除以單項式的法則:
（12）常用變形：
第二章　平行線與相交線
一、余角與補角
1、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。
2、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其中一個角是另一個角的補角。
3、余角和補角的性質：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。
二、對頂角
1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。
2、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。
3、對頂角的性質：對頂角相等。
三、同位角、內錯角、同旁內角
1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個角。
2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。
3、內錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角。
4、同旁內角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內角。
四、平行線的判定方法
1、同位角相等，兩直線平行。     2、內錯角相等，兩直線平行。
3、同旁內角互補，兩直線平行。
4、在同一平面內，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。
（簡稱為：平行于同一直線的兩直線平行）
5、在同一平面內，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行
（簡稱為：垂直于同一直線的兩直線平行）
平行線的性質  1、兩直線平行，同位角相等。  2、兩直線平行，內錯角相等。
3、兩直線平行，同旁內角互補。
尺規(guī)作線段和角
1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。
2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。
第三章　生活中的數據
一、單位換算 
1、長度單位：（1）百萬分之一米又稱微米，即1微米=10^-6米。
（2）10億分之一米又稱納米，即1納米=10^-9米。（3）1微米=10³納米。
（4）1米=10分米=100厘米=10³毫米=10⁶微米=10⁹納米。
2、面積單位：（1）10^-6千米²=1米²=10²分米²=10⁴厘米²=10⁶毫米²=10¹²微米²=10¹⁸納米²。
3、質量單位（1）1噸=10³千克=10⁶克。
二、科學計數法
1、用科學計數法表示絕對值小于1的較小數據時，可以表示為a×10ⁿ的形式，其中1≤〡a〡<10,n為負整數，例如：
2、用科學計數法表示絕對值較大數據時，可以表示為a×10ⁿ的形式，其中1≤〡a〡<10,n為正整數，例如：
三、近似數與精確數
例如：考范圍題目：近似數X=2.8,則X的范圍是                 
近似數X=4.0,則X的范圍是                 
（規(guī)律：左邊為最后一位數字減5，且有等號，右邊為最后一位數字后面多寫一個數字5，且沒有等號）
四、有效數字
 1、對于一個近似數，從左邊第一個不為零的數字起，到精確到的數位為止，所
有的數字都叫這個數的有效數字。
2、對于科學計數法型的近似數，由a×10ⁿ（1≤〡a〡<10）中的a來確定，a的有效數字就是這個近似數的有效數字。與×10ⁿ無關。
五、近似數的精確度1、近似數的精確度是近似數精確的程度。2、近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。3、精確度是由該近似數的最后一位有效數字在該數中所處的位置決定的。
例如：2.10萬精確到     位，有效數字      個，分別是              
精確到     位，有效數字      個，分別是              
六、統(tǒng)計圖（表） 
1、條形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。
2、折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況。
3、扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。
4、象形統(tǒng)計圖：能直觀地反映數據之間的意義。
第四章　概率  
 一、事件:
 1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。
2、必然事件：事先就能肯定一定會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%（或1）。
3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機會發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。
4、不確定事件：事先無法肯定會不會發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。
二、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。
1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個比例數，一般用P來表示，P（A）=事件A可能出現的結果數/所有可能出現的結果數。
2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=1；
3、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；
4、不確定事件發(fā)生的概率在0—1之間，記作0<P（不確定事件）<1。
5、概率的計算：（1）直接數數法：即直接數出所有可能出現的結果的總數n，再數出事件A可能出現的結果數m，利用概率公式 直接得出事件A的概率。（2）對于較復雜的題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。
四、幾何概率
1、事件A發(fā)生的概率等于此事件A發(fā)生的可能結果所組成的面積（用S_A表示）除以所有可能結果組成圖形的面積（用S_全表示），所以幾何概率公式可表示為P（A）=S_A/S_全，這是因為事件發(fā)生在每個單位面積上的概率是相同的。
2、求幾何概率：（1）首先分析事件所占的面積與總面積的關系；
（2）然后計算出各部分的面積；
（3）最后代入公式求出幾何概率。
第五章　三角形     
一、1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號“Δ”表示。
2、頂點是A、B、C的三角形，記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”。
3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC，有時也用a，b，c來表示，頂點A所對的邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b，c來表示；
4、∠A、∠B、∠C為ΔABC的三個內角。
二、三角形中三邊的關系
1、三邊關系： 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。用字母可表示為a+b>c, a+c>b, b+c>a；a-b<c ,a-c<b, b-c<a。
2、判斷三條線段a,b,c能否組成三角形：
（1）當a+b>c,a+c>b,b+c>a同時成立時，能組成三角形；
（2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。
3、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即 .
三、三角形中三角的關系
1、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于180⁰。
   n邊行內角和公式（n-2）
2、三角形按內角的大小可分為三類：
（1）銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形；
（2）直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。
注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。
（3）鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。
3、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數。
4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。
四、三角形的三條重要線段
1、三角形的角平分線：
（1）三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。（內心）
3、三角形的中線：
（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。
（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。（重心）
（3）三角形的中線把這個三角形分成面積相等的兩個三角形
4、三角形的高線：（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。（垂心）（3）注意等底等高知識的考試
五、全等圖形
1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。
2、全等圖形的性質：全等圖形的形狀和大小都相同。
六、全等三角形
1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“≌”連接，讀作“全等于”。
2、用“≌”連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
八、全等三角形的判定
1、三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。
2、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。
3、兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。
4、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。
九、作三角形;    十、利用三角形全等測距離;
十一、直角三角形全等的條件
在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。
第六章　變量之間的關系           
一、變量、自變量、因變量
1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。
2、如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。
一.列表法。
      采用數表相結合的形式，運用表格可以表示兩個變量之間的關系。列表時要選取能代表自變量的一些數據，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對應值。列表法最大的特點是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對應值，但缺點是具有局限性，只能表示因變量的一部分。
    例1：在全國抗擊“非典”的斗爭中，黃城研究所的醫(yī)學專家們經過日夜奮戰(zhàn)，終于研制出一種治療非典型肺炎的抗生素。據臨床觀察：如果成人按規(guī)定的劑量注射這種抗生素，注射藥液后每毫升血液中的含藥量（微克）與時間（分鐘）之間的關系近似地滿足下表：

時間 (分鐘)	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
含藥量 (微克)	0	2	4	6	5.7	5.2	4.8	4.4	4	3.6	3.2	2.8	2.4	2

（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）當注射藥液60分鐘后血液中含藥量是多少？
（3）據臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于4微克時，控制“非典”病情是有效的。如果病人按規(guī)定的劑量注射該藥液后，那么這一次注射的藥液經過多長時間后控制病情開始有效？這個有效時間有多長？
【解】（1）上表反映了注射藥液的時間和血液中的含藥量這兩個變量之間的關系，自變量是注射藥液的時間，因變量是血液中的含藥量。
（2）當注射藥液60分鐘后血液中含藥量是6微克。           
（3）據臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于4微克時，控制“非典”病情是有效的。如果病人按規(guī)定的劑量注射該藥液后，那么這一次注射的藥液經過40分鐘后控制病情開始有效，這個有效時間是120分鐘（從表格中可以看出：當注射藥液達到40分鐘時，血液中的含藥量上升到4微克，之后繼續(xù)上升至最高值為6微克，然后緩慢下降，當注射藥液160分鐘后，血液中的含藥量下降至4微克，所以，如果按規(guī)定的劑量注射該藥液后需要經過40分鐘控制病情開始有效，這個有效時間為160分鐘—40分鐘=120分鐘）。
 二.關系式法。 關系式是利用數學式子來表示變量之間關系的等式，利用關系式，可以根據任何一個自變量的值求出相應的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應的自變量的值。
例2：已知梯形上底的長是 x，下底的長是 15，高是 8，梯形面積 為y。 (原題見課本197頁數學理解第1題)
（1）梯形面積 y 與上底長 x 之間的關系式是什么？
（2）用表格表示當 x 從 10 變到 20 時（每次增加1），y 的相應值；
（3） 當 x 每增加 1 時，y如何變化？說說你的理由；
（4） 當 x ＝0時，y 等于什么？此時它表示的什么？
【解】（1）梯形面積 y 與上底長 x 之間的關系式是y=4x+10。
（2）用表格表示當 x 從 10 變到 20 時（每次增加1），y 的相應值如下表：

梯形的上底x	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
梯形的面積y	100	104	108	112	116	120	124	128	132	136	140

（3） 當 x 每增加 1 時，y增加4。
（4）當 x ＝0時，y 等于60。此時它表示的是三角形的面積。
三.圖象法。例3： 如圖是某天溫度變化的情況。(原題見課本198頁)
（1）上午9時的溫度是多少？ 12時呢？
（2）這一天的最高溫度是多少？是在幾時達到的？最低溫度呢？
（3）這一天的溫差是多少？從最低溫度到最高溫度經過了多長時間？
（4）在什么時間范圍內溫度在上升？在什么時間范圍內溫度在下降？
（5）圖中A點表示的是什么？B點呢？
【解】（1）上午9時的溫度是27℃，12時是31℃。
（2）這一天的最高溫度是37℃，是在15時達到的，最低溫度是23℃，是在3時達到的。
（3）這一天的溫差（最高溫度和最低溫度的差值）是37℃—23℃=14℃，從最低溫度到最高溫度經過了15時—3時=12時。
（4）在3時到15時溫度在上升，在0時到3時、15時到24時溫度在下降。
（5）A點表示的是21時的溫度是31℃，B點表示的是0時的溫度是26℃。
一、概念：
變量：在某一過程中發(fā)生變化的量，其中包括自變量與因變量。自變量是最初變動的量，它在研究對象反應形式、特征、目的上是獨立的；因變量是由于自變量變動而引起變動的量，它“依賴于” 自變量的改變。
常量：一個變化過程中數值始終保持不變的量叫做常量.
二、圖像注意：a.認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象；  b.從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標），特別是圖像的起點、拐點、交點
三、事物變化趨勢的描述
   對事物變化趨勢的描述一般有兩種：
1.隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）（或者用函數語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而增加（大））；
2. 隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸減�。ɑ蛘哂�函數語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而減�。�.
注意：如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣，可以采用分段描述.例如在什么范圍內隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）等等.
四、估計（或者估算）
   對事物的估計（或者估算）有三種：
   1.利用事物的變化規(guī)律進行估計（或者估算）.例如：自變量x每增加一定量，因變量y的變化情況；平均每次（年）的變化情況（平均每次的變化量=（尾數－首數）/次數或相差年數）等等；
   2.利用圖象：首先根據若干個對應組值，作出相應的圖象，再在圖象上找到對應的點對應的因變量y的值；
   3.利用關系式：首先求出關系式，然后直接代入求值即可.


 
第七章 生活中的軸對稱  
一、軸對稱圖形
如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。
二、軸對稱
對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。可以說成：這兩個圖形關于某條直線對稱。
三、角平分線的性質1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。
2、性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
四、線段的垂直平分線
1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。
2、性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。
五、等腰三角形
1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；
3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。6、、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。8、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”。
六、等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形
2、等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。
4、等邊三角形的三邊都相等，三個內角都是60⁰。
七、軸對稱的性質
1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點稱為對應點（對稱點），能夠重合的線段稱為對應線段，能夠重合的角稱為對應角。2、關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。
3、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。
4、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應線段、對應角都相等。
九、鏡面對稱
1.當物體正對鏡面擺放時，鏡面會改變它的左右方向；
2.當垂直于鏡面擺放時，鏡面會改變它的上下方向；
3.如果是軸對稱圖形，當對稱軸與鏡面平行時，其鏡子中影像與原圖一樣；
學生通過討論，可能會找出以下解決物體與像之間相互轉化問題的辦法：
（1）利用鏡子照(注意鏡子的位置擺放)；（2）利用軸對稱性質；
（3）可以把數字左右顛倒，或做簡單的軸對稱圖形；
（4）可以看像的背面；   （5）根據前面的結論在頭腦中想象。
 
 

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